Menentukanpenyelesaian persamaan trigonometri dasar a. sin𝑥=sin𝛼° Nilai sinus suatu sudut positif di kuadran 1 dan 2 sehingga untuk persamaan sin𝑥=sin𝛼° penyelesaiannya adalah: 𝑥={ 𝛼°+ .360°−−−−−−−−−(𝐾 𝑑𝑟 𝑛 1) (180−𝛼)°+ .360°−−−−−(𝐾 𝑑𝑟 𝑛 2) b. RumusPersamaan Trigonometri Ada tiga macam rumus periode yang dipakai untuk menyelesaikan persamaan trigonometri. Semua itu dibagi kedalam 3 bentuk, yaitu: 1) sin x = sin α jadi x = α + k.360 o dan x = (180 - α)+k.360 o 2) cos x = cos α jadi x = α + k.360 o dan x = - α+k.360 o 3) tan x = tan α jadi x = α+k.180 o dimana k merupakan bilangan bulat. TutorialCara Mudah Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat #2 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos (3x - 45o) = 1/2, untuk 0 ≤ x ≤ 360o Jawaban: cos (3x - 45o) = 1/2 cos (3x - 45o) = cos 60o (i) 3x - 45o = 60o + k.360o 3x = (60o + 45o) + k.360o 3x = 105o + k.360o x = 35o + k.120o Untuk k = 0, maka x = 35o cash. Math SMAHomeTeacherKelas XKelas XIMatematika Wajib XIMatematika Minat XIKD. 1 Persamaan TrigonometriReview TrigonometriSudut Khusus dan KuadranGrafik TrigonometriIdentitas TrigonometriPersamaan Trigonometri sederhanaPersamaan Trigonometri dengan IdentitasnyaPersamaan Trigonometri Bentuk KuadratKD. 2 Jumlah dan perkalian TrigonometriKD3. LingkaranKD4. PolinomialKelas XIIGaleriMath SMAHomeTeacherKelas XKelas XIKelas XIIGaleriMore11 PERSAMAAN TRIGONOMETRI Bentuk Kuadrat dan updated Report abuse Untuk mencari penyelesaian persamaan trigonometri bentuk kuadrat, kalian harus sudah memahami tentang pemfaktoran persamaan kuadrat, penyelesaian persamaan trigonometri sederhana↝ dan menguasai identitas trigonometri dengan baik. Berikut beberapa contoh soal tentang persamaan trigonometri bentuk kuadratLatihan SoalTentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2{{\cos }^{2}}x+\cos x-1=0$, untuk $0\le x\le 360{}^\circ $Dengan memisalkan $\cos x=p$ maka$2{{\cos }^{2}}x+\cos x-1=0$ memisalkan $\cos x=p$$\Leftrightarrow 2{{p}^{2}}+p-1=0$$\Leftrightarrow 2p-1p+1=0$$\Leftrightarrow 2p-1=0$ atau $p+1=0$$\Leftrightarrow p=\frac{1}{2}$ atau $p=-1$ rubah lagi $p=\cos x$$\Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2}$ atau $\cos x=-1$Untuk $\cos x=\frac{1}{2}=\cos 60{}^\circ $$x=60{}^\circ + $Untuk $k=1\Rightarrow x=60{}^\circ $$x=-60{}^\circ + $Untuk $k=1\Rightarrow x=300{}^\circ $Untuk $\cos x=-1=\cos 180{}^\circ $$x=180{}^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=180{}^\circ $$x=-180{}^\circ + $Untuk $k=1\Rightarrow x=180{}^\circ $Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace60{}^\circ ,180{}^\circ ,300{}^\circ \rbrace$Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $4\sin^2x-1=0$, untuk $0\le x\le 360{}^\circ $Dengan memisalkan $\sin x=p$ maka$4\sin^2x-1=0$ memisalkan $\sin x=p$$\Leftrightarrow 4p^2-1=0$$\Leftrightarrow 2p-12p+1=0$$\Leftrightarrow 2p-1=0$ atau $2p+1=0$$\Leftrightarrow p=\frac{1}{2}$ atau $p=-\frac{1}{2}$ rubah lagi $p=\sin x$$\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{2}$ atau $\sin x=-1$Untuk $\sin x=\frac{1}{2}=\sin 30^\circ $$x=30^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=30^\circ $$x=180^\circ-30^\circ + $$x=150^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=150^\circ $Untuk $\sin x=-\frac12=\sin 210^\circ $$x=210^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=210^\circ $$x=180^\circ-210^\circ + $$x=-30^\circ + $Untuk $k=1\Rightarrow x=330^\circ $Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace 30^\circ ,150^\circ,210^\circ, 330^\circ\rbrace$Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\tan^2x-1=0$, untuk $0\le x\le 360^\circ $$\tan^2x-1=0$$\Leftrightarrow p^2-1=0 $ misal $\tan x=p$$\Leftrightarrowp-1p+1=0 $$\Leftrightarrow p=1$ atau $p=-1$$\Leftrightarrow \tan x=1$ atau $\tan x=-1$ rubah lagi $p=\tan x$Untuk $\tan x=1=\tan 45^\circ $ maka diperoleh$x=45^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=45^\circ $Untuk $k=1\Rightarrow x=225^\circ $Untuk $\tan x=-1=\tan 35^\circ $$x=135^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=135^\circ $Untuk $k=1\Rightarrow x=315^\circ $Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace 45^\circ ,135^\circ ,225^\circ,315^\circ \rbrace$Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2\sin^2x-1=0$, untuk $0\le x\le 2\pi $Dengan memisalkan $\sin x=p$ maka$2\sin^x-1=0$ memisalkan $\sin x=p$$\Leftrightarrow 2p^2-1=0$$\Leftrightarrow \sqrt2 p-1\sqrt2 p+1=0$$\Leftrightarrow \sqrt2p-1=0$ atau $\sqrt2p+1=0$$\Leftrightarrow p=\frac{1}{\sqrt2}$ atau $p=-\frac{1}{\sqrt2}$ rasionalkan bentuk akar$\Leftrightarrow p=\frac12\sqrt2$ atau $p=-\frac12\sqrt2$ rubah lagi $p=\sin x$$\Leftrightarrow \sin x=\frac12\sqrt2$ atau $\sin x=-\frac12\sqrt2$Untuk $\sin x=\frac12\sqrt2=\sin 45^\circ=\sin \frac14\pi $$x=\frac14\pi + $Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac14\pi $$x=\pi-\frac14\pi + $$x=\frac34\pi + $Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac34\pi $Untuk $\sin x=-\frac12\sqrt2=\sin 225^\circ=\sin \frac54\pi $$x=\frac54\pi + $Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac54\pi $$x=\pi-\frac54\pi + $$x=-\frac14\pi + $Untuk $k=1\Rightarrow x=\frac74\pi $Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace \frac14\pi,\frac34\pi,\frac54\pi,\frac74\pi \rbrace$Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2\cos^2x-5\cos x-3=0$, untuk $0\le x\le 2\pi $Dengan memisalkan $\cos x=p$ maka$2\cos ^2x-5\cos x-3=0$ memisalkan $\cos x=p$$\Leftrightarrow 2p^2-5p-3=0$$\Leftrightarrow 2p+1p-3=0$$\Leftrightarrow 2p+1=0$ atau $p-3=0$$\Leftrightarrow p=-\frac{1}{2}$ atau $p=3$ rubah lagi $p=\cos x$$\Leftrightarrow \cos x=-\frac{1}{2}$ atau $\cos x=3$Untuk $\cos x=-\frac{1}{2}=\cos 120^\circ=\cos \frac23\pi $$x=\frac23\pi + $Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac23\pi $$x=-\frac23\pi + $Untuk $k=1\Rightarrow x=\frac43\pi $Untuk $\cos x=3$ jelas tidak memenuhi karena nilai $\cos x$ maksimal adalah 1Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace \frac23\pi,\frac43\pi \rbrace$Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\tan^2x-3=0$, untuk $0\le x\le 2\pi $$\tan^2x-3=0$$\Leftrightarrow p^2-3=0 $ misal $\tan x=p$$\Leftrightarrowp-\sqrt3p+\sqrt3=0 $$\Leftrightarrow p=\sqrt3$ atau $p=-\sqrt3$$\Leftrightarrow \tan x=\sqrt3$ atau $\tan x=-\sqrt3$ rubah lagi $p=\tan x$Untuk $\tan x=\sqrt3=\tan 60^\circ =\tan \frac13 \pi $ maka diperoleh$x=\frac13 \pi +k.\pi $Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac13 \pi $Untuk $k=1\Rightarrow x=\frac43 \pi $Untuk $\tan x=-\sqrt3=\tan 120^\circ=\tan \frac23 \pi $$x=\frac23 \pi +k.\pi $Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac23 \pi $Untuk $k=1\Rightarrow x=\frac53 \pi $Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace \frac13 \pi,\frac23 \pi,\frac43 \pi,\frac53 \pi \rbrace$Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $4\sin^23x-1=0$, untuk $0\le x\le 360{}^\circ $Dengan memisalkan $\sin 3x=p$ maka$4\sin^2x-1=0$ memisalkan $\sin 3x=p$$\Leftrightarrow 4p^2-1=0$$\Leftrightarrow 2p-12p+1=0$$\Leftrightarrow 2p-1=0$ atau $2p+1=0$$\Leftrightarrow p=\frac{1}{2}$ atau $p=-\frac{1}{2}$ rubah lagi $p=\sin 3x$$\Leftrightarrow \sin 3x=\frac{1}{2}$ atau $\sin 3x=-1$Untuk $\sin 3x=\frac{1}{2}=\sin 30^\circ $$3x=30^\circ + $ masing-masing dibagi 3$x=10^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=10^\circ $Untuk $k=1\Rightarrow x=130^\circ $Untuk $k=2\Rightarrow x=250^\circ $$3x=180^\circ-30^\circ + $$3x=150^\circ + $ masing-masing ruas dibagi 3$x=50^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=50^\circ $Untuk $k=1\Rightarrow x=170^\circ $Untuk $k=2\Rightarrow x=290^\circ $Untuk $\sin 3x=-\frac12=\sin 210^\circ $$3x=210^\circ + $$\Rightarrow x=70^\circ + $Untuk $k=0\Rightarrow x=70^\circ $Untuk $k=1\Rightarrow x=190^\circ $Untuk $k=3\Rightarrow x=310^\circ $$x3=180^\circ-210^\circ + $$\Rightarrow 3x=-30^\circ + $$\Rightarrow x=-10^\circ + $Untuk $k=1\Rightarrow x=110^\circ $Untuk $k=2\Rightarrow x=230^\circ $Untuk $k=3\Rightarrow x=350^\circ $Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace 10^\circ, 50^\circ, 70^\circ,110^\circ,130^\circ,170^\circ,$ $190^\circ,230^\circ,250^\circ, 290^\circ,310^\circ,350^\circ \rbrace$ Pada kesempatan kali ini saya akan berbagi bagaimana cara menyelesaikan persamaan trigonometri tanpa menggunakan rumus. yang saya maksud, adalah rumus persamaan trigonometri berikut ini Persamaan Penyelesaian $\sin{x} =\sin{a^\circ}$ $\cos{x}=\cos{a^\circ}$ $\tan{x}=\tan{a^\circ}$ $x=a^\circ+k\times360^\circ$ atau $x=180-a^\circ+k\times360^\circ$ $x=\pm a^\circ+k\times 360^\circ$ $x=a^\circ +k\times 180^\circ$ Rumus-rumus yang lumayan susah untuk diingat 😁, tapi cara yang saya bagikan ini sebenarnya tidak saya sarankan, anggap saja hanya berbagi pengalaman bagaimana cara saya menutupi kekurangan yang jujur saja lemah dalam hapalan, toh matematika bukan ilmu hapalan kan? hehe 😁 Namun tetap, ada beberapa syarat yang mesti terpenuhi untuk bisa menggunakan cara ini, Pertama, kalian harus tau nilai trigonometri sudut istimewa pada kuadran I, sebagai berikut $\alpha$ $0^\circ$ $30^\circ$ $45^\circ$ $60^\circ$ $90^\circ$ $\sin{\alpha}$ $0$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ $1$ $\cos{\alpha}$ $1$ $\frac{1}{2} \sqrt{3}$ $\frac{1}{2} \sqrt{2}$ $\frac{1}{2}$ $0$ $\tan{\alpha}$ $0$ $\frac{1}{3} \sqrt{3}$ $1$ $\sqrt{3}$ $-$ Kedua, kalian harus tau nilai trigonometri bernilai positif atau negatif berada di kuadran mana saja. untuk mempermudah mengingatnya, kita ingat yang bernilai positifnya saja yang biasa saya hapal menggunakan "jembatan keledai" dalam kalimat "semanis sinta tanpa cosmetik", sebagai berikut Kuadran I Semua bernilai positif $\sin$, $\cos$, $\tan$, $\sec$, $\csc$ dan $\cot$ Kuadaran II $\sin$ dan "kebalikannya" yaitu $\csc$ bernilai positif, yang lainnya negatif Kuadran III $\tan$ dan "kebalikannya" yaitu $\cot$ bernilai positif, yang lainnya negatif Kuadran IV $\cos$ dan "kebalikannya" yaitu $\sec$ bernilai positif, yang lainnya negatif perhatikan diagram berikut Nah, itulah dua syarat yang harus terpenuhi. Baiklah sekarang kita coba bahas soal persamaan trigonometri, kita mulai dari yang paling sederhana CONTOH 1 Tentukan penyelesaian dari persamaan $\sin{x}=\frac{1}{2}$ untuk $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$. Jawab Pertama perhatikan batasan $x$ yaitu $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ artinya $x$ bisa berada di kuadran I, II, III atau IV. Sekarang perhatikan persamaan $\sin{x}=\frac{1}{2}$, bisa kita lihat nilai $\sin$ positif, artinya nilai $x$ yang memenuhi pastilah berada di kuadran I atau II karena $\sin$ positif di kuadran I dan II maka nilai $x$ yang memenuhi pastilah $x=30^\circ$ atau $x=150^\circ$ CONTOH 2 Tentukan penyelesaian dari persamaan $\cos{x}+1=0$ untuk $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$. Jawab $\cos{x}+\frac{1}{2}\sqrt{2}=0\Rightarrow\cos{x}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$ Pertama perhatikan batasan $x$ yaitu $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ artinya $x$ bisa berada di kuadran I, II, III atau IV. Perhatikan persamaan $\cos{x}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$ nilai $\cos$ negatif, artinya nilai $x$ yang memenuhi berada di kuadran III dan IV. Maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=180^\circ-45^\circ=135^\circ$ atau $x=180^\circ+45^\circ=225^\circ$ CONTOH 3 Sumber soal Matematika Peminatan Kls XI Intan Pariwara Penyelesaian persamaan $\cos{x}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$ untuk $0^\circ\leq x \leq 360^\circ$ adalah .... A. $x=30^\circ, 150^\circ$ B. $x=120^\circ, 210^\circ$ C. $x=150^\circ, 210^\circ$ D. $x=150^\circ, 300^\circ$ E. $x=150^\circ, 330^\circ$ Jawab Nilai $\cos$ negatif, artinya nilai $x$ yang memenuhi berada di kuadaran II dan III, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=180^\circ-30^\circ=150^\circ$ dan $x=180^\circ+30^\circ=210^\circ$.Jawaban C CONTOH 4 Sumber soal Matematika Peminatan Kls XI Intan Pariwara Diketahui $x_1$ dan $x_2$ merupakan penyelesaian persamaan $\sqrt{2}+2\cos{x}=0$ untuk $0^\circ\leq x \leq 360^\circ$. nilai $x_1+x_2=$ .... A. $210^\circ$ B. $270^\circ$ C. $300^\circ$ D. $330^\circ$ E. $360^\circ$ Jawab $\begin{align*}\sqrt{2}+2\cos{x}&=0\\2\cos{x}&=-\sqrt{2}\\ \cos{x}&=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{align*}$ Nilai $\cos$ negatif, artinya nilai $x$ yang memenuhi berada pada kuadran II dan III, maka $x_1=180^\circ-45^\circ=135^\circ$ $x_2=180^\circ+45^\circ=225^\circ$, sehingga $x_1+x_2=135^\circ+225^\circ=360^\circ$Jawaban E CONTOH 5 Sumber soal Matematika Peminatan Kls XI Intan Pariwara Penyelesaian persamaan $\tan{x+15^\circ}=-1$ untuk $180^\circ \leq x \leq 360^\circ$ adalah .... A. $x=135^\circ$ B. $x=225^\circ$ C. $x=300^\circ$ D. $x=315^\circ$ E. $x=330^\circ$ Jawab Batasan $x$, $180^\circ \leq x \leq 360^\circ$ bisa kita ubah menjadi $180^\circ+15^\circ \leq x+15^\circ \leq 360^\circ+15^\circ$ $\Rightarrow 195^\circ\leq x+15^\circ\leq 375^\circ$ Jika kita misalkan $x+15^\circ=p$, maka $\tan{p}=-1$ dengan $195^\circ\leq p \leq 375^\circ$ $\tan$ bernilai negatif, artinya $p$ yang memenuhi berada di kuadran IV, dengan demikian, nilai $p=360^\circ-45^\circ=315^\circ$ $\begin{align*}x+15^\circ&=p\\x+15^\circ&=315^\circ\\x&=315^\circ-15^\circ\\x&=300^\circ\end{align*}$Jawaban C CONTOH 6 Sumber soal Matematika Peminatan Kls XI Intan Pariwara Himpunan penyelesaian persamaan $2\cos{2x-60^\circ}=1$ untuk $0^\circ \leq x \leq 180^\circ$ adalah .... A. $\{ 0^\circ, 45^\circ, 135^\circ \}$ B. $\{0^\circ, 60^\circ, 135^\circ\}$ C. $\{0^\circ, 60^\circ, 180^\circ\}$ D. $\{30^\circ, 45^\circ, 180^\circ\}$ E. $\{30^\circ, 135^\circ, 180^\circ\}$ Jawab $\begin{align*}2\cos {2x-60^\circ}&=1\\ \cos{2x-60^\circ}&=\frac{1}{2}\end{align*}$ Batasan $x$ $0^\circ \leq x \leq 180^\circ \Leftrightarrow -60^\circ \leq 2x-60^\circ \leq 360^\circ$ Misal $2x-60^\circ = p$, maka $\cos{p}=\frac{1}{2}$ untuk $-60^\circ \leq p \leq 300^\circ$ karena nilai $\cos$ positif, maka $p$ yang memenuhi berada di kuadran I, dan IV. Perhatikan juga "batasan" $p$, $-60^\circ$ berada di kuadran IV, memenuhi. jadi $p=-60^\circ, 60^\circ, 300^\circ$ $2x-60^\circ=p\Leftrightarrow x=\frac{p+60^\circ}{2}$ untuk $p=-60^\circ\Rightarrow x=\frac{-60^\circ+60^\circ}{2}=0^\circ$ untuk $p=60^\circ\Rightarrow x=\frac{60^\circ+60^\circ}{2}=60^\circ$ untuk $p=300^\circ\Rightarrow x=\frac{300^\circ+60^\circ}{2}=180^\circ$Jawaban C

menyelesaikan persamaan trigonometri yang berbentuk persamaan kuadrat